Filtre Üretim Hattı — Diferansiyel Denklem Modeli

0 Sahne: Değişkenler ve Fonksiyonlar

Diferansiyel denklemin özü bir büyüklüğün değişim hızıdır. O yüzden önce hangi büyüklüklerin zamanla değiştiğini, yani hangilerinin birer zaman fonksiyonu olduğunu belirleriz. Alt indis $i=1,2,3$ sırasıyla küçük, orta ve büyük filtreyi gösterir.

x_i(t)

i. boyut filtrenin proses içi (yarı-mamul) stok miktarı — aranan fonksiyon

P_i(t)

i. boyut için anlık üretim hızı (adet/saat) — sabit değil, bir fonksiyon

D_i(t)

i. boyut için sevkiyat / talep hızı (adet/saat)

Q(t)

Hattın anlık kalite / verim oranı (0–1 arası)

u(t)

Hat hızı ayarı — optimize edilecek kontrol parametresi

α_i(t)

Hattın i. boyuta ayrılan zaman oranı, $ \sum \alpha_i = 1 $

İş Akış Diyagramı

Hammadde → Hat (paylaşımlı kapasite) → Stok → Sevkiyat · kutuların altında ilgili denklem

Küçük filtre (i=1)

Orta filtre (i=2)

Büyük filtre (i=3)

Geri besleme (kalite)

1 Üretim hızını bir fonksiyon olarak yazmak

Üretim hızı sabit değildir; hat hızına $u(t)$, kaliteye $Q(t)$ ve hattın o boyuta ayırdığı zamana $\alpha_i(t)$ bağlıdır. Bu yüzden $P_i$ bir çok değişkenli fonksiyon olarak kurulur:

$$ P_i(t) = \alpha_i(t)\, k_i\, u(t)\, Q(t), \qquad i = 1,2,3 $$

k_i her boyut için makinenin teknik kapasite katsayısıdır. Büyük filtre yavaş üretildiği için $k_3 < k_2 < k_1$.

Öğrenciye sorulacak soru: "Üretim hızı neden bir sabit değil de bir fonksiyon? Hangi büyüklük değişince $P_i$ değişir?"

2 Temel denge denklemi — stok korunumu

Diferansiyel denklemin fiziksel mantığı tek cümleyle: stoktaki değişim hızı = giren − çıkan. Her boyut için stok $x_i(t)$ bir birinci mertebeden diferansiyel denklemle modellenir:

$$ \frac{dx_i}{dt} = \underbrace{P_i(t)}_{\text{üretim}} \;-\; \underbrace{D_i(t)}_{\text{sevkiyat}} \;-\; \underbrace{r_i\, x_i(t)}_{\text{fire / bekleme kaybı}} $$

Son terim $r_i x_i$ önemlidir: proseste bekleyen yarı-mamul ne kadar çoksa, fire de orantılı olarak o kadar artar. Bu terim denklemi lineer ve birinci mertebeden yapar — öğrencinin çözmeyi öğrendiği en temel tip.

Sabit $P_i$ ve $D_i$ varsayımı altında çözüm: $ x_i(t) = \frac{P_i-D_i}{r_i} + \left(x_i(0)-\frac{P_i-D_i}{r_i}\right)e^{-r_i t} $. Üstel yaklaşımı ve denge değerini burada gösterin.

3 Hat paylaşımı — kuplajlı denklem sistemi

Tek hat olduğu için üç boyut aynı kapasiteyi paylaşır. Bu kısıt üç denklemi birbirine bağlar; artık tek bir denklem değil, bir diferansiyel denklem sistemi vardır:

$$ \begin{aligned} \frac{dx_1}{dt} &= \alpha_1 k_1 u Q - D_1 - r_1 x_1 \\[4pt] \frac{dx_2}{dt} &= \alpha_2 k_2 u Q - D_2 - r_2 x_2 \\[4pt] \frac{dx_3}{dt} &= \alpha_3 k_3 u Q - D_3 - r_3 x_3 \\[4pt] \alpha_1 &+ \alpha_2 + \alpha_3 = 1 \end{aligned} $$

Bir boyuta daha çok zaman ayırmak ($\alpha_i \uparrow$) zorunlu olarak diğerlerinin payını düşürür. Bu, "kaynak paylaşımı" kavramını matematiksel olarak somutlaştırır.

Vektör gösterimi: $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{b}(t) $. İleri seviye sınıfta matris formunu ve özdeğerlerle kararlılığı tartışın.

4 Kalitenin dinamiği — denge noktası kavramı

Kalite de sabit değildir. Hat hızlandıkça aşınma ve ısınma artar, kalite düşer; bakım ise kaliteyi toparlar. Kaliteyi kendi diferansiyel denklemiyle modelleriz:

$$ \frac{dQ}{dt} = -\,\beta\, u(t)\, Q(t) \;+\; \gamma\,\bigl(1 - Q(t)\bigr) $$

İlk terim hızdan kaynaklı bozulma, ikinci terim bakımdan gelen toparlanma. Bu denklem, $dQ/dt = 0$ koyarak denge (kararlı durum) kalitesi kavramını öğretmek için idealdir:

$$ Q^{*} = \frac{\gamma}{\gamma + \beta\, u} $$

Sonuç sezgisel: hat hızı $u$ büyüdükçe denge kalitesi $Q^*$ düşer. Öğrenci "hızlı üret ama kalite kaybet" gerilimini denklemden görür.

5 Optimizasyon — diferansiyel denklemin üstüne kurulan fonksiyonel

Son adım "üretim parametrelerinin optimizasyonu". Yukarıdaki denklemler sistemin nasıl davrandığını söyler; optimizasyon ise en iyi $u(t)$ ve $\alpha_i(t)$ seçimini arar. Amaç, $[0,T]$ aralığında toplam kârı veren fonksiyoneli büyütmektir:

$$ J = \int_{0}^{T} \left[ \sum_{i=1}^{3} c_i\, P_i(t) \;-\; h_i\, x_i(t) \;-\; m\, u(t)^2 \right] dt \;\;\longrightarrow\;\; \max $$

Terimler sırasıyla: c_i P_i üretimden gelen kâr, h_i x_i stok taşıma maliyeti, m u² hızlı çalışmanın enerji ve yıpranma maliyeti. $u^2$ terimi cezayı hızla birlikte hızlandırır — bu yüzden çözüm sonsuz hızı seçmez, bir denge bulur.

Kısıtlar: diferansiyel denklem sistemi (Adım 2–4), $\sum\alpha_i=1$, ve $0 \le u \le u_{\max}$. Bu yapı doğrudan optimal kontrol teorisine (Pontryagin ilkesi) bir köprüdür.

∑ Önerilen ders akışı

1. ders: Tek boyut ele alın (Adım 2). Sabit $P, D$ ile lineer birinci mertebeden denklemi elle çözün; üstel yaklaşımı ve denge stokunu gösterin.

2. ders: Üç boyutu açın (Adım 3). Kuplajlı sistemi tanıtın; $\alpha_i$ değiştikçe çözümlerin nasıl kaydığını sayısal olarak (Euler / RK4) simüle ettirin.

3. ders: Kalite denklemini ekleyin (Adım 4). Denge noktası ve kararlılık; $u$ arttıkça $Q^*$ düşüşünü tartışın.

4. ders: Amaç fonksiyonelini tanıtın (Adım 5). Farklı $u$ değerleri için $J$'yi hesaplatıp en iyi noktayı sayısal taramayla buldurun — optimizasyonun diferansiyel denklem çözümüne nasıl oturduğunu gösterin.